这是 2020 年 7 月 24 日的力扣每日一题。难度为简单,但是却卡了我一段时间。怎么说呢,数学题中的脑筋急转弯。

题目

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏,他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初,黑板上有一个数字 N 。在每个玩家的回合,玩家需要执行以下操作:

  • 选出任一 x,满足 0 < x < N 且 N % x == 0 。
  • N - x 替换黑板上的数字 N

如果玩家无法执行这些操作,就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true,否则返回 false。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

说明

1 <= N <= 1000

示例 1

输入:2
输出:true
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃无法进行操作。

示例 2

输入:3
输出:false
解释:爱丽丝选择 1,鲍勃也选择 1,然后爱丽丝无法进行操作。

代码

这里直接给出代码:

  • 语言:C++
class Solution {
public:
    bool divisorGame(int N) {
        return N%2==0;
    }
};

证明

没错,就这么简单,当 N 为奇数的时候,爱丽丝必输,当 N 为偶数的时候,爱丽丝必赢。可以用数学归纳法证明:

证明:

  • 当 $N=1$ 时,爱丽丝先手无法进行操作,爱丽丝输,
    当 $N=2$ 时,爱丽丝先手选择 $1$,则爱丽丝必赢。
  • 假设命题 奇数先手输,偶数先手赢 在 $N \leq n$ 时成立 。
    则当 $N=n+1$ 时:

    • 无论先手拿什么数字,剩下数字都 $<n$,即符合上面假设内容。
    • n 为偶数,则此时 N+1 为奇数,此时爱丽丝想赢,必须让下一次鲍勃选择数字的时候为奇数。则爱丽丝必须选择一个偶数。但奇数的因数中没有偶数,所以爱丽丝必输。
    • n 为奇数,则此时 N+1 为偶数,此时爱丽丝只要选择 $1$,就会让轮到鲍勃的时候数字为奇数。则鲍勃必输,爱丽丝必赢。
  • 由数学归纳法,可得 奇数先手输,偶数先手赢。证毕。